3. 反復・繰り返し層

3.1 反復の基本構造

反復指数 $k \in \mathbb{N}$：

  • 各反復インスタンスの一意識別子
  • 反復間の順序関係を定義
  • 反復履歴の管理：$H_k = \{(k', S^{(k')}) \mid k' < k\}$

反復生成子 $\mathcal{R}$：

$$\mathcal{R}: (r \in \Gamma, \hat{\mathcal{T}}) \to \{t_k \in T\}$$
  • 規則 $r$ とテンプレート $\hat{\mathcal{T}}$ から開始時刻列を生成
  • 動的調整機能：前回実行結果に基づく次回開始時刻の調整

3.2 反復インスタンスの詳細管理

3.2.1 インスタンス化の厳密定義

テンプレート構造 $\hat{\mathcal{T}}$：

$$\hat{\mathcal{T}} = (\hat{V}, \hat{E}, \hat{F}, \hat{\Pi}, \hat{\Theta}, \text{VariableBindings})$$

where:

  • $\hat{V}, \hat{E}, \hat{F}, \hat{\Pi}$：抽象的なタスクネットワーク構造
  • $\hat{\Theta}$：期待値テンプレート（パラメータ化）
  • $\text{VariableBindings}$：反復固有の変数束縛規則

インスタンス化写像 $\iota$ の詳細：

$$\mathcal{T}^{(k)}_0 = \iota(\hat{\mathcal{T}}, t_k, S^{(k-1)}, H_{k-1})$$

このインスタンス化は以下の原始操作の組み合わせとして実現：

  1. 構造複製：

    $$\forall \hat{v} \in \hat{V}: \text{add\_v}(v^{(k)} = \text{instantiate}(\hat{v}, k))$$

    $$\forall (\hat{u},\hat{v}) \in \hat{E}: \text{add\_e}(u^{(k)}, v^{(k)}, \hat{\pi}_{\hat{u} \to \hat{v}})$$

  2. 変数束縛：

    $$\forall \hat{v} \in \hat{V}: \text{update\_f}(v^{(k)}, \text{bind\_variables}(\hat{f}_{\hat{v}}, k, S^{(k-1)}))$$

  3. 履歴継承：

    $$\forall \text{dependency} \in \text{CrossIterationDeps}: \text{add\_e}(\text{source\_from\_history}(H_{k-1}), \text{target}^{(k)}, \pi_{\text{history}})$$

3.2.2 状態遷移の数学的モデル

反復 $k$ 内での状態遷移：

$$\mathcal{T}^{(k)}_{s+1} = \mathbf{R}(\mathcal{T}^{(k)}_s, \eta(\mathcal{E}_{[t_{k,s}, t_{k,s+1})}, \Omega^{(k)}_s, \Theta^{(k)}_s))$$

ここで：

  • $t_{k,s}$：反復 $k$ 内のステップ $s$ の開始時刻
  • $\mathcal{E}_{[t_1, t_2)}$：時間区間 $[t_1, t_2)$ 内のイベント
  • $\Omega^{(k)}_s, \Theta^{(k)}_s$：反復・ステップ固有の観測・期待

3.2.3 反復間状態移譲の詳細

搬出写像 $\Xi$ の厳密定義：

$$\Xi: O^{(k)} \times \text{ExtractionRules} \to S^{(k)}$$

where $S^{(k)}$ は構造化された外部状態：

S^{(k)} = {
  persistent_data: PersistentState,
  metrics: PerformanceMetrics,
  learned_parameters: LearnedParams,
  error_conditions: ErrorLog,
  resource_states: ResourceStates
}

搬入写像 $\Lambda$ の詳細：

$$\Lambda: S^{(k)} \times \text{InjectionRules} \to I^{(k+1)}_{\text{init}}$$

状態継承パターン：

  1. 完全継承：$I^{(k+1)}_{\text{init}} = \text{transform}(O^{(k)})$
  2. 選択的継承：$I^{(k+1)}_{\text{init}} = \text{filter}(O^{(k)}, \text{selection\_criteria})$
  3. 集約継承：$I^{(k+1)}_{\text{init}} = \text{aggregate}(\{O^{(j)}\}_{j \leq k}, \text{aggregation\_func})$
  4. 学習継承：$I^{(k+1)}_{\text{init}} = \text{learn\_from\_history}(H_k, \text{learning\_model})$

3.3 反復境界条件と一貫性保証

3.3.1 反復境界の形式定義

反復開始条件 $\text{StartCondition}^{(k)}$：

$$\text{SC}^{(k)} = \bigwedge_{cond \in StartConds} \text{evaluate}(cond, t_k, S^{(k-1)}, H_{k-1})$$

反復終了条件 $\text{EndCondition}^{(k)}$：

$$\text{EC}^{(k)} = \bigvee_{term \in TermConds} \text{evaluate}(term, \mathcal{T}^{(k)}, t, \Omega^{(k)})$$

終了条件の例：

  • 完了終了：$\text{Done}(\mathcal{T}^{(k)}, C^{(k)}) = \top$
  • 時間終了：$t > t_k + \text{max\_duration}$
  • 資源終了：$\text{resources\_exhausted}(\mathcal{T}^{(k)})$
  • 品質終了：$S(O^{(k)}, C^{(k)}) \geq \theta^{(k)}$
  • 緊急終了：$\text{emergency\_condition}(\Omega^{(k)})$

3.3.2 反復不変条件

各反復は以下の不変条件を満たす必要があります：

1. 時間分離不変条件：

$$\forall k_1 \neq k_2: \text{TimeSpan}(\mathcal{T}^{(k_1)}) \cap \text{TimeSpan}(\mathcal{T}^{(k_2)}) = \varnothing$$

2. 状態一貫性不変条件：

$$\forall k: \text{StateConsistency}(S^{(k-1)}, I^{(k)}_{\text{init}}, \Lambda) = \top$$

3. DAG保持不変条件：

$$\forall k, s: \text{IsDAG}(\mathcal{T}^{(k)}_s) = \top$$

4. 型整合不変条件：

$$\forall k: \text{TypeConsistency}(\mathcal{T}^{(k)}) = \top$$

3.4 反復間依存関係の管理

3.4.1 クロス反復依存の表現

反復間の依存関係は外部層で明示的に管理されます：

依存関係グラフ $G_{\text{iter}} = (K, D_{\text{iter}})$：

  • $K = \{k_1, k_2, \ldots\}$：反復インデックス集合
  • $D_{\text{iter}} \subseteq K \times K$：反復間依存関係

依存タイプ：

D_iter = {
  data_dependency: (k₁, k₂, data_path),
  temporal_dependency: (k₁, k₂, time_constraint),
  resource_dependency: (k₁, k₂, resource_type),
  conditional_dependency: (k₁, k₂, condition)
}

3.4.2 依存関係解決アルゴリズム

依存関係解決 $\text{ResolveDependencies}$：

$$\text{ResolveDependencies}(k) = \begin{pmatrix} \text{wait\_for} \\ \text{data\_sources} \\ \text{constraints} \end{pmatrix}$$

where:

  • $\text{wait\_for} = \{k' \in K \mid (k', k) \in D_{\text{iter}} \wedge \neg\text{Completed}(k')\}$
  • $\text{data\_sources} = \{\text{extract\_data}(S^{(k')}) \mid (k', k) \in D_{\text{iter}}\}$
  • $\text{constraints} = \{\text{apply\_constraint}(k', k) \mid (k', k) \in D_{\text{iter}}\}$

3.5 反復パフォーマンス最適化

3.5.1 学習型反復調整

反復パフォーマンス評価：

$$P^{(k)} = f_{\text{perf}}(\text{duration}^{(k)}, \text{quality}^{(k)}, \text{resource\_usage}^{(k)}, \text{error\_rate}^{(k)})$$

適応型テンプレート更新：

$$\hat{\mathcal{T}}_{k+1} = \text{UpdateTemplate}(\hat{\mathcal{T}}_k, P^{(k)}, H_k, \text{LearningPolicy})$$

この更新は以下の原始操作で実現：

  • 構造最適化：不要なタスクの除去（del_v）、効率的な分割（split_v）
  • 依存関係最適化：冗長な依存の削除（del_e）、並列化機会の特定（parallel）
  • パラメータ調整：関数更新（update_f）、射影調整（update_π）

3.5.2 予測型スケジューリング

次回実行予測：

$$t_{k+1}^{\text{predicted}} = \text{PredictNextStart}(H_k, \text{WorkloadForecast}, \text{ResourceAvailability})$$

動的間隔調整：

$$\text{interval}^{(k+1)} = \text{AdjustInterval}(\text{interval}^{(k)}, P^{(k)}, \text{SystemLoad})$$

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