4. 資源・容量管理層

4.1 容量配分子 $\kappa$ (Capacity Allocator) の詳細定義

4.1.1 資源モデルの数学的定式化

資源空間 $\mathcal{R} = \{r_1, r_2, \ldots, r_n\}$：

各資源 $r_i$ は以下の属性を持ちます：

$$r_i = \begin{pmatrix} \text{type} \\ \text{capacity} \\ \text{availability} \\ \text{cost\_function} \\ \text{divisibility} \\ \text{constraints} \end{pmatrix}$$

where:

  • $\text{type} \in \text{ResourceType}$
  • $\text{capacity} \in \mathbb{R}_+$
  • $\text{availability}: T \to [0,1]$
  • $\text{cost\_function}: \text{Usage} \to \mathbb{R}_+$
  • $\text{divisibility} \in \{\text{discrete}, \text{continuous}, \text{batch}\}$
  • $\text{constraints} \in \text{ConstraintSet}$

資源要求 $\text{Req}(v, t)$：

タスク $v$ の時刻 $t$ での資源要求：

$$\text{Req}(v, t) = \{(r_i, q_{v,i}(t), d_{v,i}(t)) \mid r_i \in \mathcal{R}\}$$

where:

  • $q_{v,i}(t)$：時刻 $t$ での資源 $r_i$ の要求量
  • $d_{v,i}(t)$：要求継続時間

4.1.2 容量制約の厳密定義

同時実行制約：

$$\sum_{v \in \text{Active}(t)} q_{v,i}(t) \leq \text{capacity}(r_i) \times \text{availability}(r_i, t)$$

累積制約：

$$\int_{t_1}^{t_2} \sum_{v \in \text{Active}(t)} q_{v,i}(t) \, dt \leq \text{budget}(r_i, [t_1, t_2])$$

依存制約：

$$\text{allocated}(v_1, r_i) \Rightarrow \text{requires}(v_1, r_j) \Rightarrow \text{allocate}(v_1, r_j)$$

4.1.3 最適化アルゴリズム

容量配分最適化問題：

$$\begin{align} \min \quad & \sum_{v,i} c_{v,i} \cdot x_{v,i} + \lambda_{\text{delay}} \sum_v w_v \cdot \text{delay}(v) \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{v} x_{v,i} \leq \text{capacity}(r_i) \quad \forall i, t \\ & x_{v,i} \geq \text{min\_requirement}(v, r_i) \quad \forall v, i \\ & \text{precedence\_constraints}(\mathcal{T}) \\ & x_{v,i} \in \{0, 1\} \text{ or } \mathbb{R}_+ \end{align}$$

動的再配分アルゴリズム：

$$\text{Reallocate}(\mathcal{R}_{\text{pool}}, D_{\text{new}}, A_{\text{current}}) = \begin{pmatrix} \text{Identify\_bottlenecks}(A_{\text{current}}) \\ \text{Priority\_ranking}(T, D_{\text{new}}) \\ \text{Greedy\_reallocation}(\mathcal{R}_{\text{bottleneck}}) \\ \text{Constraint\_satisfaction\_check}() \\ \text{Rollback\_if\_infeasible}() \end{pmatrix}$$

4.2 隔離・マルチテナント管理 $\mathsf{I}$ の詳細

4.2.1 テナント資源分離モデル

テナント空間 $\mathcal{T} = \{T_1, T_2, \ldots, T_m\}$：

各テナント $T_i$ には以下が定義されます：

$$T_i = \begin{pmatrix} \text{resource\_quota} \\ \text{priority\_class} \\ \text{isolation\_level} \\ \text{sla\_requirements} \end{pmatrix}$$

where:

  • $\text{resource\_quota}: \mathcal{R} \to \mathbb{R}_+$
  • $\text{priority\_class} \in [1, 10]$
  • $\text{isolation\_level} \in \{\text{strict}, \text{soft}, \text{shared}\}$
  • $\text{sla\_requirements} \in \text{SLASpec}$

資源分離制約：

$$\forall T_i \neq T_j: \text{strict\_isolation}(T_i, T_j) \Rightarrow \text{Resources}(T_i) \cap \text{Resources}(T_j) = \varnothing$$

公平性保証 (Fair Queuing)：

Weighted Fair Queuing アルゴリズムを適用：

$$\text{ServiceRate}(T_i) = \frac{w_i}{\sum_j w_j} \times \text{TotalCapacity}$$

where $w_i$ はテナント $T_i$ の重み

4.2.2 スロットリング・レート制限

レート制限関数 $\text{RateLimit}: \mathcal{T} \times \text{ResourceType} \to \mathbb{R}_+$：

$$\text{allowed\_rate}(T_i, r_j, t) = \min\begin{pmatrix} \text{quota\_rate}(T_i, r_j) \\ \text{adaptive\_rate}(T_i, \text{current\_load}(t)) \\ \text{burst\_allowance}(T_i, r_j, t) \end{pmatrix}$$

適応的スロットリング：

$$\text{adaptive\_rate}(T_i, \text{load}) = \text{base\_rate}(T_i) \times \text{throttling\_factor}(\text{load})$$$$\text{throttling\_factor}(\text{load}) = \max(0.1, 1 - \text{sigmoid}(\text{load} - \text{threshold}))$$

4.2.3 リソース競合解決

競合検出：

$$\text{Conflict}(T_i, T_j, r, t) \iff \text{demand}(T_i, r, t) + \text{demand}(T_j, r, t) > \text{capacity}(r, t)$$

解決戦略：

  1. 優先度ベース：

    $$\text{winner} = \arg\max_{T_k \in \text{Conflicting}} \text{priority}(T_k)$$

  2. 比例配分：

    $$\text{allocation}(T_i, r) = \text{capacity}(r) \times \frac{\text{weight}(T_i)}{\sum_k \text{weight}(T_k)}$$

  3. オークション制：

    $$\text{allocation}(T_i, r) = \frac{\text{bid}(T_i, r)}{\sum_k \text{bid}(T_k, r)} \times \text{capacity}(r)$$

4.3 動的負荷分散の数学的モデル

4.3.1 負荷予測モデル

負荷関数 $L: \mathcal{T} \times T \to \mathbb{R}_+$：

$$L(v, t) = \alpha \cdot \text{historical\_load}(v, t) + \beta \cdot \text{predicted\_load}(v, t) + \gamma \cdot \text{contextual\_load}(v, t)$$

予測アルゴリズム：

  • 時系列予測：ARIMA, LSTM ベースの負荷予測
  • 季節性考慮：Fourier変換による周期性抽出
  • 外部要因：イベント、リリース、マーケティング活動の影響

4.3.2 リアルタイム負荷バランシング

負荷バランシング最適化：

$$\begin{align} \min \quad & \sum_{i} \left(\text{utilization}(r_i) - \text{target\_utilization}\right)^2 \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{v} \text{assignment}(v, r_i) \leq \text{capacity}(r_i) \\ & \text{migration\_cost}(\text{current}, \text{new}) \leq \text{budget} \end{align}$$

マイグレーション戦略：

$$\text{Migration\_decision}(v, r_{\text{source}}, r_{\text{target}}) = \begin{cases} \top & \text{if benefit} > \text{cost} + \text{safety\_margin} \\ \bot & \text{otherwise} \end{cases}$$

where:

  • $\text{benefit} = \text{load\_reduction}(r_{\text{source}}) + \text{efficiency\_gain}(r_{\text{target}})$
  • $\text{cost} = \text{migration\_overhead} + \text{state\_transfer\_cost}$

4.4 制約最適化への射影

容量管理層が生成する制約は以下の形で内部系に射影されます：

4.4.1 操作制限制約

同時実行制限：

$$\mathcal{C}_{\text{concurrent}}(v, r, limit) = \text{forbid}(\text{add\_v}(\tau), \text{concurrent\_usage}(r) \geq limit)$$

資源割り当て制約：

$$\mathcal{C}_{\text{allocation}}(v, r, quota) = \text{require}(\text{any\_op}(v), \text{allocate}(v, r, quota))$$

4.4.2 実行順序制約

資源依存順序：

$$\mathcal{C}_{\text{resource\_order}}(v_1, v_2, r) = \text{order}(\text{complete}(v_1) \prec \text{start}(v_2), \text{shared\_resource}(r))$$

4.4.3 重み調整

資源コスト重み：

$$\mathcal{C}_{\text{cost\_weight}}(\phi, context) = \text{weight\_modifier}(\phi, \text{resource\_cost}(context))$$

4.5 パフォーマンス監視と自動調整

4.5.1 監視メトリクス

効率性指標：

  • 利用率：$\text{utilization}(r_i, t) = \frac{\text{used\_capacity}(r_i, t)}{\text{total\_capacity}(r_i)}$
  • スループット：$\text{throughput}(t) = \frac{\text{completed\_tasks}([t-\Delta t, t])}{\Delta t}$
  • 応答時間：$\text{response\_time}(v) = t_{\text{complete}}(v) - t_{\text{submit}}(v)$
  • 待機時間：$\text{wait\_time}(v) = t_{\text{start}}(v) - t_{\text{ready}}(v)$

4.5.2 自動調整アルゴリズム

適応制御ループ：

$$\text{AutoTune}() = \begin{pmatrix} \text{current\_metrics} = \text{collect\_metrics}() \\ \text{deviation} = \text{current\_metrics} - \text{target\_metrics} \\ \text{adjustment} = \text{PID\_controller}(\text{deviation}) \\ \text{apply\_adjustment}(\text{adjustment}) \\ \text{if stability\_check() then commit else rollback} \end{pmatrix}$$

PIDコントローラー：

$$\text{adjustment}(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

where $e(t) = \text{target} - \text{current}(t)$

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