2. 時間・スケジューリング層

2.1 基本定義

時間領域 $T$：

  • 全順序集合（実時間の抽象）
  • 離散時間または連続時間のモデル化が可能
  • 時間粒度パラメータ $\tau_{\text{gran}} \in \{seconds, minutes, hours, days\}$

外部イベント流 $\mathcal{E} \subseteq T \times \mathcal{U}$：

  • $(t, u) \in \mathcal{E}$：時刻 $t$ での操作要求 $u$
  • $\mathcal{U}$：要求タイプの集合（開始、停止、優先度変更など）

スケジューラ $\Sigma$：

$$\Sigma: \Gamma \to \mathcal{E}$$
  • $\Gamma$：スケジューリング規則の集合
    • 期限（Deadline）
    • 時間窓（Time Window）
    • カレンダー制約
    • CRON式
    • トリガー条件

2.2 スケジューリング規則の数学的定式化

2.2.1 期限制約の厳密定義

期限制約：

$$\text{deadline}(v, t_d, \text{severity}) \in \Gamma$$
  • タスク $v$ は時刻 $t_d$ までに完了する必要がある
  • $severity \in \{hard, soft, elastic\}$：制約の厳密性

制約射影：

$$\mathcal{C}_{\text{deadline}}(v, t_d, severity) = \begin{cases} \text{forbid}(\text{add\_e}(*, v), t > t_d) & \text{if } severity = hard \\ \text{weight\_modifier}(\text{all\_ops}, w_{\text{penalty}}(t - t_d)) & \text{if } severity = soft \\ \text{precondition}(\text{all\_ops}, \text{negotiate\_deadline}(t_d)) & \text{if } severity = elastic \end{cases}$$

2.2.2 時間窓制約

時間窓制約：

$$\text{window}(v, [t_{\text{start}}, t_{\text{end}}], \text{recurrence}) \in \Gamma$$
  • タスク $v$ は時間窓 $[t_{start}, t_{end}]$ 内でのみ実行可能
  • $recurrence$：繰り返しパターン（daily, weekly, monthly, none）

DAG性との関係：

時間窓制約は内部DAGに対して以下の制約を追加します：

$$\forall u \prec v, \quad t_{\text{complete}}(u) \leq t_{\text{start}}(v)$$

これにより、時間的前後関係とDAGの順序関係の整合性を保証します。

2.2.3 CRON式の形式定義

CRON式 $C = (min, hour, day, month, dow)$：

$$C: T \to \{\top, \bot\}$$

where:

  • $min \in [0,59] \cup \{*\}$：分
  • $hour \in [0,23] \cup \{*\}$：時
  • $day \in [1,31] \cup \{*\}$：日
  • $month \in [1,12] \cup \{*\}$：月
  • $dow \in [0,6] \cup \{*\}$：曜日

評価関数：

$$\text{CRON\_match}(C, t) = \bigwedge_{field \in C} \text{field\_match}(field, \text{extract}(field, t))$$

周期的実行制約：

$$\text{periodic}(\text{template}, C, \text{duration}) \in \Gamma$$
  • テンプレートをCRON式に従って周期実行
  • $duration$：各実行の最大継続時間

2.2.4 カレンダー制約の詳細定義

営業日カレンダー $\mathcal{B} \subseteq T$：

$$\mathcal{B} = T \setminus (\text{Weekends} \cup \text{Holidays} \cup \text{CustomBlackouts})$$

営業時間制約：

$$\text{business\_hours}(\text{start\_time}, \text{end\_time}, \text{timezone}) \in \Gamma$$

地域別カレンダー：

$$\mathcal{B}_{\text{region}}: Region \times T \to \{⊤, ⊥\}$$

2.3 期限違反検出と自動再構成

2.3.1 期限違反の数学的定義

期限違反は以下の述語で検出されます：

$$\text{late}(v,t) \iff \big(t > \text{deadline}(v) \wedge \neg\text{Done}(v,C)\big)$$

早期警告システム：

$$\text{approaching\_deadline}(v, t, \epsilon) \iff \big(t > \text{deadline}(v) - \epsilon \wedge \neg\text{Done}(v,C)\big)$$

2.3.2 期限違反時の自動再構成メカニズム

期限違反検出時、以下の再構成戦略が $\eta$ を通じて適用されます：

1. タスク分割戦略：

$$\Delta_{\text{split}} = \{split\_v(v \Rightarrow v_{\text{critical}} \to v_{\text{defer}}, \phi_{\text{split}})\}$$
  • 緊急部分 $v_{\text{critical}}$ と延期可能部分 $v_{\text{defer}}$ に分割
  • 分割関数 $\phi_{\text{split}}$ は期限内完了可能性を最大化

2. 並列化戦略：

$$\Delta_{\text{parallel}} = \{fork\text{-}join(v \Rightarrow \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}, \psi_{\text{parallel}})\}$$
  • 独立実行可能な部分への分解

3. 依存関係緩和戦略：

$$\Delta_{\text{relax}} = \{del\_e(u, v), update\_\pi(u, w, \pi')\}$$
  • 非必須依存関係の削除
  • 射影の簡素化

4. 資源追加戦略：

外部制約を通じて資源増強を要求：

$$\mathcal{C}_{\text{resource\_boost}} = \text{require}(\text{all\_ops}, \text{allocate\_resource}(v, \text{additional\_capacity}))$$

2.4 時間制約の階層化

時間制約は以下の優先順序で適用されます：

  1. Hard constraints：違反時は操作を完全に禁止
  2. Soft constraints：違反時はペナルティを課すが実行可能
  3. Preference constraints：可能な限り遵守するが必須ではない

制約競合解決：

複数の時間制約が競合する場合、以下のアルゴリズムで解決：

$$\text{resolve\_conflicts}(\text{constraints}) = \underset{\text{valid\_schedule}}{\arg\max} \sum \text{priority}(c) \times \text{satisfaction}(c, \text{schedule})$$

2.5 実時間と論理時間の分離

論理時間 $s \in \mathbb{N}$（内部系）と実時間 $t \in T$（外部層）の分離を維持：

  • 内部系は論理ステップ $s$ のみを認識
  • 外部層が実時間 $t$ を論理ステップに写像
  • 写像 $\tau: T \to \mathbb{N}$ は単調増加関数

時間同期メカニズム：

$$\text{sync}(t) = \begin{cases} s + 1 & \text{if trigger\_condition}(t) \\ s & \text{otherwise} \end{cases}$$

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